玫瑰线的说法源于欧洲海图。在中世纪的航海地图上，并没有经纬线，有的只是一些从中心有序地向外辐射的互相交叉的直线方向线。此线也称罗盘线，希腊神话里的各路风神被精心描绘在这些线上，作为方向的记号。葡萄牙水手则称他们的罗盘盘面为风的玫瑰（rosedosventor）。水手们根据太阳的位置估计风向，再与“风玫瑰”对比找出航向。玫瑰线，即指引方向的线。

?一、数学中的瑰线方程及其几何结构

?玫瑰线的极坐标方程为:ρ=a*sin(nθ),ρ=a*cos(nθ)，用直角坐标方程表示为:x=a*sin(nθ)*cos(θ),y=a*sin(nθ)*sin(θ)。

根据三角函数的特性可知,玫瑰线是一种具有周期性且包络线为圆弧的曲线,曲线的几何结构取决于方程参数的取值,不同的参数决定了玫瑰线的大小、叶子的数目和周期的可变性。这里参数a(包络半径)控制叶子的长短,参数n控制叶子的个数、叶子的大小及周期的长短。

如对于方程式ρ=5*sin(3*θ),ρ=5*sin(2*θ),ρ=5*sin(2*θ)、ρ=5*sin(3*θ/2)，分别对应的是三叶、四叶和六叶玫瑰线。

玫瑰线总面积A

玫瑰线的参数主要是a、n及θ,其值的大小决定玫瑰线的形状,包括叶子数、叶子长度宽度和曲线闭合周期。系数a只跟叶子的长度有关,而n和θ则影响玫瑰线的多样性和周期性,本文主要讨论n和θ对玫瑰线几何结构的影响,从而揭示玫瑰线的生成规则。通过计算机对方程式ρ=a*sin(nθ)的大量试验,证明玫瑰线具有如下三个特性:

当n为整数时,若n为奇数,则玫瑰线的叶子数为n,闭合周期为π,即θ角在0-π内玫瑰线是闭合的。当n为偶数时,玫瑰线的叶子数为2n,闭合周期为2π,即θ角取值在0-2π内玫瑰线才是闭合和完整的。

当n为非整数的有理数时,设为L/W,且L/W为简约分数,此时,L与W不可能同时为偶数。L决定玫瑰线的叶子数,W决定玫瑰线的闭合周期(Wπ或2Wπ,见特性3)及叶子的宽度,W越大,叶子越宽。但W也会同时影响叶子数的多少,对同一奇数值L,在W分别取奇数和偶数值时,叶子数也是不同的。

当L或W中有一个为偶数时,玫瑰线的叶子数为2L,闭合周期为2Wπ。当L或W同为奇数时,玫瑰线的叶子数为L,闭合周期为Wπ。换句话说,生成偶数个叶子的玫瑰线,L或W中必须有且只有一个为偶数值,且L为叶子数的一半,而生成奇数个叶子的玫瑰线,L和W都必须为奇数,且L值就是叶子数。

END

简单到复杂

复杂到简单